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【第1篇 平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
鑒于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的重要性，小編為您提供了這篇有關(guān)平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，希望對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)有所幫助。
定比分點(diǎn)
定比分點(diǎn)公式(向量p1p=λ向量pp2)
設(shè)p1、p2是直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，p是l上不同于p1、p2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使 向量p1p=λ向量pp2，λ叫做點(diǎn)p分有向線(xiàn)段p1p2所成的比。
若p1(_1,y1)，p2(_2,y2)，p(_,y)，則有
op=(op1+λop2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)
_=(_1+λ_2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)
我們把上面的式子叫做有向線(xiàn)段p1p2的定比分點(diǎn)公式
三點(diǎn)共線(xiàn)定理
若oc=λoa +μob ,且λ+μ=1 ,則a、b、c三點(diǎn)共線(xiàn)
三角形重心判斷式
在△abc中，若ga +gb +gc=o,則g為△abc的重心
[編輯本段]向量共線(xiàn)的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 _y'-_'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 ab=0。
a⊥b的充要條件是 __'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
設(shè)a=(_，y)，b=(_'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿(mǎn)足平行四邊形法則和三角形法則。
ab+bc=ac。
a+b=(_+_'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運(yùn)算律：
交換律：a+b=b+a;
結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
ab-ac=cb. 即“共同起點(diǎn)，指向被減”
a=(_,y) b=(_',y') 則 a-b=(_-_',y-y').
4、數(shù)乘向量
實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且?λa?=?λ??a?。
當(dāng)λ>;0時(shí)，λa與a同方向;
當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;
當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。
當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實(shí)數(shù)λ叫做向量a的.系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線(xiàn)段伸長(zhǎng)或壓縮。
當(dāng)?λ?>;1時(shí)，表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的?λ?倍;
當(dāng)?λ?<1時(shí)，表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的?λ?倍。
數(shù)與向量的乘法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數(shù)量積
定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱(chēng)作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線(xiàn)，則ab=abcos〈a，b〉;若a、b共線(xiàn)，則ab=+-?a??b?。
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=__'+yy'。
向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
ab=ba(交換律);
(λa)b=λ(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
aa=a的平方。
a⊥b 〈=〉ab=0。
ab≤ab。
向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)
1、向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。
2、向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。
3、ab≠ab
4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線(xiàn)，則a×b的模是：?a×b?=absin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線(xiàn)，則a×b=0。
向量的向量積性質(zhì)：
?a×b?是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運(yùn)算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量沒(méi)有除法，“向量ab/向量cd”是沒(méi)有意義的。
向量的三角形不等式
1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;
① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào);
② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。
2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。
① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào);
② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。
這篇有關(guān)平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，是小編精心為同學(xué)們準(zhǔn)備的，祝大家學(xué)習(xí)愉快!
【第2篇 高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量.
有向線(xiàn)段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
零向量：長(zhǎng)度為的向量.
單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量.
相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量
&向量的運(yùn)算
加法運(yùn)算
ab+bc=ac，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個(gè)從同一點(diǎn)o出發(fā)的兩個(gè)向量oa、ob，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb，則以o為起點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)oc就是向量oa、ob的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對(duì)于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿(mǎn)足所有的加法運(yùn)算定律。
減法運(yùn)算
與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ >;0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ< 0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa = 0。
設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)線(xiàn)性運(yùn)算。
向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的'數(shù)量積為0。
a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。
【第3篇 高二數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高二數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
平面向量
1.基本概念：
向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線(xiàn)向量、相等向量。
2. 加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：
(1)若a=(_1,y1 ),b=(_2,y2 )則a b=(_1+_2,y1+y2 ).
向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。
向量加法有如下規(guī)律： + = + (交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律);
3.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量。
(1)| |=| |
(2) 當(dāng) a0時(shí)， 與a的方向相同;當(dāng)a0時(shí)， 與a的方向相反;當(dāng) a=0時(shí)，a=0.
兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件：
(1) 向量b與非零向量 共線(xiàn)的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得b= .
(2) 若 =( ),b=( )則 ‖b .
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， ，使得 = e1+ e2.
4.p分有向線(xiàn)段 所成的比：
設(shè)p1、p2是直線(xiàn) 上兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)p是 上不同于p1、p2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 = ， 叫做點(diǎn)p分有向線(xiàn)段 所成的比。
當(dāng)點(diǎn)p在線(xiàn)段 上時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)p在線(xiàn)段 或 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若 = ; 的坐標(biāo)分別為( ),( ),( );則 ( -1)， 中點(diǎn)坐標(biāo)公式： .
5. 向量的數(shù)量積：
(1).向量的夾角：
已知兩個(gè)非零向量 與b，作 = , =b,則aob= ( )叫做向量 與b的夾角。
(2).兩個(gè)向量的數(shù)量積：
已知兩個(gè)非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 b=| ||b|cos .
其中|b|cos 稱(chēng)為向量b在 方向上的投影.
(3).向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
若 =( ),b=( )則e = e=| |cos (e為單位向量);
b b=0 ( ，b為非零向量);| |= ;
cos = = .
(4) .向量的`數(shù)量積的運(yùn)算律：
b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.
6.主要思想與方法：
本章主要樹(shù)立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀(guān)點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀(guān)數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線(xiàn)向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)。
【第4篇 平面向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)總結(jié)的內(nèi)容
平面向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)總結(jié)的內(nèi)容
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1. 向量共線(xiàn)定理? 向量 與非零向量 共線(xiàn)的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使 =λ .
2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐標(biāo)表示
分別取與 軸、 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 、 作為基底.任作一個(gè)向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，使得
把 叫做向量 的(直角)坐標(biāo)，記作
4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
若 ， ，則? ，? ， .
若 ， ，則
5. ∥? ( ? )的充要條件是_1y2-_2y1=0
6.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)及λ
p1， p2是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，p是l上不同于p1， p2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，
使? =λ ，λ叫做點(diǎn)p分 所成的比，有三種情況：
λ>;0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1)??? ( 外分)λ<0? (-1<λ<0)
7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：
若點(diǎn)p1(_1，y1) ，p2(_2，y2)，λ為實(shí)數(shù)，且 =λ ，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為( )，我們稱(chēng)λ為點(diǎn)p分 所成的比.
8. 點(diǎn)p的位置與λ的范圍的關(guān)系：
①當(dāng)λ>;0時(shí)， 與 同向共線(xiàn)，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)p為 的內(nèi)分點(diǎn).
②當(dāng)λ<0( )時(shí)， 與 反向共線(xiàn)，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)p為 的外分點(diǎn).
9.線(xiàn)段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：
在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o，設(shè) =a， =b，
可得 = .
10.力做的功：w = |f|?|s|cos?，?是f與s的夾角.
二、講解新課：
1.兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量a與b，作 =a， =b，則∠aob=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.
說(shuō)明：(1)當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向;
(2)當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向;
(3)當(dāng)θ= 時(shí)，a與b垂直，記a⊥b;
(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0?≤?≤180?
2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫a與b的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
(0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
?探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別
(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos?的符號(hào)所決定.
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成a?b;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的.數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“? ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在實(shí)數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0;但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os?有可能為0.
(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c? a = c
如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||oa|，b?c = |b||c|cos? = |b||oa|
? a?b = b?c? 但a ? c
(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線(xiàn)的向量，而右端是與a共線(xiàn)的向量，而一般a與c不共線(xiàn).
3.“投影”的概念：作圖
定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量;當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)?為直角時(shí)投影為0;當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|;當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.
4.向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.
5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.
1?? e?a = a?e =|a|cos?
2?? a?b ? a?b = 0
3?? 當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = ?|a||b|. 特別的a?a = |a|2或
4?? cos? =
5?? |a?b| ≤ |a||b|
三、講解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a?b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)?(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線(xiàn)，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直.
例4 判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
①a?0=0;②0?a=0;③0- = ;④|a?b|=|a||b|;⑤若a≠0，則對(duì)任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0，則a與b中至少有一個(gè)為0;⑦對(duì)任意向量a，b，с都有(a?b)с=a(b?с);⑧a與b是兩個(gè)單位向量，則a2=b2.
解：上述8個(gè)命題中只有③⑧正確;
對(duì)于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0?a=0;對(duì)于②：應(yīng)有0?a=0;
對(duì)于④：由數(shù)量積定義有|a?b|=|a|?|b|?|cosθ|≤|a||b|，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時(shí)，才有|a?b|=|a|?|b|;
對(duì)于⑤：若非零向量a、b垂直，有a?b=0;
對(duì)于⑥：由a?b=0可知a⊥b可以都非零;
對(duì)于⑦：若a與с共線(xiàn)，記a=λс.
則a?b=(λс)?b=λ(с?b)=λ(b?с)，
∴(a?b)?с=λ(b?с)с=(b?с)λс=(b?с)a
若a與с不共線(xiàn)，則(a?b)с≠(b?с)a.
評(píng)述：這一類(lèi)型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.
例6 已知|a|=3，|b|=6，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時(shí)，分別求a?b.
解：①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角θ=0°，
∴a?b=|a|?|b|cos0°=3×6×1=18;
若a與b反向，則它們的夾角θ=180°，
∴a?b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;
②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角θ=90°，
∴a?b=0;
③當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有
a?b=|a||b|cos60°=3×6× =
評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是[0°，180°]，因此，當(dāng)a∥b時(shí)，有0°或180°兩種可能.
