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【第1篇 2023年考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)四大考點(diǎn)總結(jié)
在考研數(shù)學(xué)考試中關(guān)于線(xiàn)性代數(shù)的部分里，有關(guān)矩陣的秩、特征值與特征向量、線(xiàn)性方程組求解和二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷這四大考點(diǎn)，是大家一定要復(fù)習(xí)好的內(nèi)容。
線(xiàn)性代數(shù)占考研數(shù)學(xué)總分值的22%，約34分，以2個(gè)選擇題、1個(gè)填空題、2個(gè)解答題的形式出現(xiàn)。雖然線(xiàn)性代數(shù)的考點(diǎn)眾多，但要把這5個(gè)題目的分值完全收入囊中，則需要進(jìn)行重點(diǎn)題型重點(diǎn)突破。
?矩陣的秩
矩陣是解決線(xiàn)性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡(jiǎn)二次型的方便工具。矩陣?yán)碚撌蔷€(xiàn)性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單易行。正因?yàn)榫仃嚴(yán)碚撛谡麄€(gè)線(xiàn)性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成，每一個(gè)元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通過(guò)幾十年考研考試命題，命題老師對(duì)題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對(duì)矩陣秩的理解，對(duì)矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對(duì)矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區(qū)別的理解，對(duì)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對(duì)含參數(shù)的矩陣的處理以及反問(wèn)題的解決能力等，都需要在對(duì)概念理解的基礎(chǔ)上，聯(lián)系地看問(wèn)題，及時(shí)總結(jié)結(jié)論。
?矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對(duì)角化過(guò)程中起著決定作用，也是將二次型標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對(duì)于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值，元素均為1的列向量是其對(duì)應(yīng)的特征向量)，會(huì)處理含參數(shù)的情況。
?線(xiàn)性方程組求解
對(duì)線(xiàn)性方程組的求解總是通過(guò)矩陣來(lái)處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點(diǎn)，對(duì)方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2023年第20題(數(shù)學(xué)二為22題)，已知三元非齊次線(xiàn)性方程組存在2個(gè)不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在'a_=b存在2個(gè)不同的解'這句話(huà)中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡(jiǎn)單了。
?二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷
二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對(duì)角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運(yùn)算中節(jié)省時(shí)間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類(lèi)特殊矩陣，判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類(lèi)，可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
【第2篇 線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第一章、行列式
知識(shí)點(diǎn)1：行列式、逆序數(shù)
知識(shí)點(diǎn)2：余子式、代數(shù)余子式
知識(shí)點(diǎn)3：行列式的性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)4：行列式按一行（列）展開(kāi)公式
知識(shí)點(diǎn)5：計(jì)算行列式的方法
知識(shí)點(diǎn)6：克拉默法則
第二章、矩陣
知識(shí)點(diǎn)7：矩陣的概念、線(xiàn)性運(yùn)算及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)8：矩陣的乘法運(yùn)算及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)9：計(jì)算方陣的冪
知識(shí)點(diǎn)10：轉(zhuǎn)置矩陣及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)11：伴隨矩陣及其性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)12：逆矩陣及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)13：矩陣可逆的判斷
知識(shí)點(diǎn)14：方陣的行列式運(yùn)算及特殊類(lèi)型的矩陣的運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)15：矩陣方程的求解
知識(shí)點(diǎn)16：初等變換的概念及其應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)17：初等方陣的概念
知識(shí)點(diǎn)18：初等變換與初等方陣的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)19：等價(jià)矩陣的概念與判斷
知識(shí)點(diǎn)20：矩陣的子式與最高階非零子式
知識(shí)點(diǎn)21：矩陣的秩的概念與判斷
知識(shí)點(diǎn)22：矩陣的秩的性質(zhì)與定理
知識(shí)點(diǎn)23：分塊矩陣的概念與運(yùn)算、特殊分塊陣的運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)24：矩陣分塊在解題中的技巧舉例
第三章、向量
知識(shí)點(diǎn)25：向量的概念及運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)26：向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示
知識(shí)點(diǎn)27：向量組之間的線(xiàn)性表示及等價(jià)
知識(shí)點(diǎn)28：向量組線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念
知識(shí)點(diǎn)29：線(xiàn)性表示與線(xiàn)性相關(guān)性的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)30：線(xiàn)性相關(guān)性的判別法
知識(shí)點(diǎn)31：向量組的最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的.秩的概念
知識(shí)點(diǎn)32：矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)33：求向量組的最大無(wú)關(guān)組
知識(shí)點(diǎn)34：有關(guān)向量組的定理的綜合運(yùn)用
知識(shí)點(diǎn)35：內(nèi)積的概念及性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)36：正交向量組、正交陣及其性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)37：向量組的正交規(guī)范化、施密特正交化方法
知識(shí)點(diǎn)38：向量空間（數(shù)一）
知識(shí)點(diǎn)39：基變換與過(guò)渡矩陣（數(shù)一）
知識(shí)點(diǎn)40：基變換下的坐標(biāo)變換（數(shù)一）
第四章、線(xiàn)性方程組
知識(shí)點(diǎn)41：齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)
知識(shí)點(diǎn)42：非齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)
知識(shí)點(diǎn)43：非齊次線(xiàn)性線(xiàn)性方程組解的各種情形
知識(shí)點(diǎn)44：用初等行變換求解線(xiàn)性方程組
知識(shí)點(diǎn)45：線(xiàn)性方程組的公共解、同解
知識(shí)點(diǎn)46：方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運(yùn)算的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)47：方程組、矩陣與向量之間的聯(lián)系及其解題技巧舉例
第五章、矩陣的特征值與特征向量
知識(shí)點(diǎn)48：特征值與特征向量的概念與性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)49：特征值和特征向量的求解
知識(shí)點(diǎn)50：相似矩陣的概念及性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)51：矩陣的相似對(duì)角化
知識(shí)點(diǎn)52：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化.
知識(shí)點(diǎn)53：利用相似對(duì)角化求矩陣和矩陣的冪
第六章、二次型
知識(shí)點(diǎn)54：二次型及其矩陣表示
知識(shí)點(diǎn)55：矩陣的合同
知識(shí)點(diǎn)56 : 矩陣的等價(jià)、相似與合同的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)57：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形
知識(shí)點(diǎn)58：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
知識(shí)點(diǎn)59：用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
知識(shí)點(diǎn)60：正定二次型的概念及判斷
【第3篇 2023考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語(yǔ)在決定考研后，同學(xué)們要做的事情就是了解考試科目的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，做到知己知彼，這樣才能夠掌握考試，取得好的成績(jī)，考研數(shù)學(xué)也是如此。為大家整理了一些線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，分享給備考的同學(xué)們。
行列式
1、行列式本質(zhì)——就是一個(gè)數(shù)
2、行列式概念、逆序數(shù)
考研：小題，無(wú)法聯(lián)系其他知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)場(chǎng)解決。
3、二階、三階行列式具體性計(jì)算
考研：不會(huì)單獨(dú)出題，常常結(jié)合伴隨矩陣、可逆矩陣考察。
4、余子式和代數(shù)余子式
考研：代數(shù)余子式的正負(fù)是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，了解代數(shù)余子式才能學(xué)習(xí)行列式展開(kāi)定理。
5、行列式展開(kāi)定理
考研：核心知識(shí)點(diǎn)，必考!
6、行列式性質(zhì)
考研：核心知識(shí)點(diǎn)，必考!小題為主。
7、行列式計(jì)算的幾個(gè)題型
①、劃三角(正三角、倒三角)
②、各項(xiàng)均加到第一列(行)
③、逐項(xiàng)相加
④、分塊矩陣
⑤、找公因
這樣做的目的，在行/列消出一個(gè)0，方便運(yùn)用行列式展開(kāi)定理。
考研：經(jīng)常運(yùn)用在找特征值中。
⑥數(shù)學(xué)歸納法
⑦范德蒙行列式
⑧代數(shù)余子式求和
⑨構(gòu)造新的代數(shù)余子式
8、抽象型行列式(矩陣行列式)
①轉(zhuǎn)置
②k倍
③可逆
③伴隨
④題型丨a+b丨;丨a+b-1丨;丨a-1+b丨型
(這部分內(nèi)容放在第二章，但屬于第一章的內(nèi)容)
考研：出小題概率非常大，抽象性行列式與行列式性質(zhì)結(jié)合考察。
矩陣
1、矩陣性質(zhì)
考研：與伴隨矩陣、可逆矩陣、初等矩陣結(jié)合考察。
2、數(shù)字型n階矩陣運(yùn)算
①方法一：秩是1
②方法二：含對(duì)角線(xiàn)上下三角為0的矩陣
③方法三：利用二項(xiàng)式定理，拆寫(xiě)成e+b型
④方法四：利用分塊矩陣
⑤方法五：p-1ap=b;p-1app-1ap=b2
方法五涉及相似對(duì)角化知識(shí)。
方法三涉及高中知識(shí)。
考研：常見(jiàn)在大題出現(xiàn)，是大題的第一問(wèn)!看到數(shù)字型n階矩陣運(yùn)算，一定出自這5個(gè)方法。
3、伴隨矩陣
考研：伴隨矩陣常與其他知識(shí)考察，與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、可逆、伴隨的伴隨結(jié)合考察。
4、二階矩陣的伴隨矩陣
法則：主對(duì)角線(xiàn)互換、副對(duì)角線(xiàn)填負(fù)號(hào)。
考研：如果讓求某個(gè)二階矩陣的可逆矩陣，難點(diǎn)轉(zhuǎn)化成如何計(jì)算它的伴隨矩陣。
5、可逆矩陣兩種求法
考研：可逆矩陣可與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、伴隨矩陣、可逆的可逆結(jié)合考察。
6、分塊矩陣
考研：以小題出現(xiàn)
7、初等矩陣
考研：小題出現(xiàn)
8、正交矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣
考研：第二章先知道張什么模樣，這部分內(nèi)容在二次型、相似對(duì)角化考察。
9、秩(十個(gè)公式)
考研：把秩比作答題的第二種方法，在解決向量、方程組等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，可以用傳統(tǒng)方法(解題速度慢)，也可用秩，解題速度是傳統(tǒng)方法的5倍!但是難懂。
向量
1、幾組定義(向量?jī)?nèi)積、向量的長(zhǎng)度、單位化、正交)
考研：考單位化，但是如果想理解線(xiàn)性代數(shù)本質(zhì)，向量?jī)?nèi)積、向量的長(zhǎng)度要懂。
2、線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的三大判別方法
⑴、利用行列式
⑵、向量個(gè)數(shù)>;維度，必相關(guān)
⑶、利用秩
考研：小題出現(xiàn)，很少結(jié)合其他章節(jié)知識(shí)點(diǎn)。
3、線(xiàn)性相關(guān)無(wú)關(guān)證明題三種思路
⑴、利用定義法
⑵、用秩
⑶、反證法
考研：大題考點(diǎn)，這部分內(nèi)容可以與線(xiàn)性方程組結(jié)合，也可以與特征值特征向量結(jié)合，也可以與秩結(jié)合。至于如何結(jié)合，怎么結(jié)合，請(qǐng)自己歸納總結(jié)。
4、線(xiàn)性表出四大判別方法
⑴、利用行列式
⑵、利用秩
⑶、利用定義
⑷、利用方程組
考研：可小題、可大題，但是通是大題的某一問(wèn)。
5、克拉默法則
考研：服務(wù)線(xiàn)性表出。
6、線(xiàn)性表出計(jì)算題三大思路
⑴、利用克拉默法則
⑵、構(gòu)建方程組，抓0思想
⑶、與向量組結(jié)合考等價(jià)。
考研：大題考點(diǎn)!涉及部分方程組知識(shí)和初等行變換知識(shí)。
這部分內(nèi)容涉及重要的數(shù)學(xué)思想：分類(lèi)討論!!!(大題愛(ài)考)
7、線(xiàn)性表出證明題四個(gè)理論
考研：大題小題都有，但是近幾年小題居多。
8、極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組
考研：核心考點(diǎn)內(nèi)容和2、3知識(shí)點(diǎn)一樣，換湯不換藥
9、等價(jià)向量組
考研：小題居多，很少與其它章節(jié)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合。
線(xiàn)性方程組
1、基礎(chǔ)解系
(不懂就背下來(lái)，我當(dāng)時(shí)考研到10月份才茅塞頓開(kāi)。)
2、齊次線(xiàn)性方程組與非齊次線(xiàn)性方程組
⑴、常規(guī)求解
⑵、解含參數(shù)的方程組
(這部分內(nèi)容最難在于化簡(jiǎn)，矩陣基礎(chǔ)要牢固!!)
⑶、利用解的三個(gè)性質(zhì)
⑷、通過(guò)矩陣運(yùn)算，構(gòu)造方程組再求解
考研：大題核心考點(diǎn)，歷年考題向量和方程組會(huì)出其中一道，而方程組的出題概率高于向量!原因如下
①、解題方法多。
②、能與矩陣相關(guān)知識(shí)聯(lián)系結(jié)合。
3、公共解、同解兩種題型
考研：重要考點(diǎn)題!
特征值與特征向量
1、特征值相關(guān)概念與計(jì)算
考研：必考題，這里面難點(diǎn)不在于特征值相關(guān)知識(shí)，而在于求解行列式相關(guān)知識(shí)。
2、特殊特征值
⑴、上三角矩陣、下三角矩陣。
⑵、秩為1的矩陣
⑶、某個(gè)矩陣拆分后，利用⑴和⑵結(jié)合。
3、相似矩陣概念及性質(zhì)
考研：不會(huì)單獨(dú)出，但一定會(huì)結(jié)合其他題目
4、相似矩陣兩種考題
如果p-1ap=b
⑴若aλ=λa→b(p-1a)=λ(p-1a)
⑵若ba=λa→a(pa)=λ(pa)
考研：這部分內(nèi)容是內(nèi)容5的基礎(chǔ)，但是如果單獨(dú)出考題，不太可能。
5、對(duì)角矩陣的相似問(wèn)題
核心內(nèi)容：“搭橋”橋是λ。
考研：核心重點(diǎn)考點(diǎn)!
本內(nèi)容需要分類(lèi)討論、需要基礎(chǔ)解系相關(guān)知識(shí)、又可以聯(lián)系特征值、特征向量，性質(zhì)方面也可全面考察。
6、反對(duì)稱(chēng)矩陣
考研：小題
7、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣以及正交矩陣
考研：也是重要考點(diǎn)，大部分知識(shí)和前面一樣，不同之處在于多一個(gè)史密斯正交化。
二次型
1、二次型相關(guān)概念
內(nèi)容和微分方程有異曲同工之妙，記憶的內(nèi)容比較多，但比較簡(jiǎn)單。
考研：出小題，比如填寫(xiě)一個(gè)負(fù)慣性指數(shù)。
2、矩陣的等價(jià)、相似、合同
考研：出小題，一定不可能出大題的。
3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、正定問(wèn)題
考研：核心重點(diǎn)考點(diǎn)，內(nèi)容本身沒(méi)什么難度，只是把前面所有的知識(shí)綜合起來(lái)。
